一、案例背景

《中小学数学课程标准》指出：学生学习数学是一个连续不断地主动构建的过程，只有通过学生自身的操作活动和主动参与的“做”才可能是有效的；只有通过学生内心的体验和充满自信的努力才可能是成功的。在教学中，教师要注重教师的主导作用，更要注重学生在学习活动中的主体地位，充分调动学生的积极性和主动性，让学生主动在行为和思维上都要参与教学活动，要注重关注引起和保持学生数学学习的兴趣，给学生提供动手、动口、动脑的时间和空间，合理设计给学生讨论、提问、反思以及总结等活动，促进学生有效学习，发展学生思维能力。

课堂时间很宝贵，那么如何高效利用宝贵的课堂时间设计出优质的操作活动，达到最优的教学效果呢？这就需要教师根据学情，根据教材内容和教学目标有计划有目的的组织学生进行裁剪、翻折、测量、画图等活动，在活动中观察、猜想、分析、归纳，把数学知识与实践操作相结合，感性认识与理性推理相结合，通过学生自己的动手、动脑来发现数学知识或者数学规律，得出正确的结论。新课标中明确指出：要“重视学生的学习经历和经验”，要“关注学生体验、感悟和实践的过程”，要“学生体验到数学思考和创造的兴趣”。要从根本上提高学生自主学习的能力，为学生的终身发展奠定一定的数学基础，这就需要我们在设计课堂活动的时候充分预设，不断钻研教材、不断研究学情。下面根据我们数学组开展的一次“三实践两反思”活动，谈一谈我的一些认识。

二、案例描述

《平行线判定1》是七年级下学期的内容，本节课通过学生在纸上任意画两条直线，得到平面内两直线的位置关系：平行与相交；通过观察木条的旋转，得到过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；利用一副三角尺来过直线外一点画已知直线的平行线，从而引出平行线的判定1：同位角相等，两直线平行。教学目标中指出：通过操作活动归纳平行线的判定方法1；在探索平行线的判定方法的过程中，提高观察、分析、归纳、概括能力，感受、体验逻辑推理方法。的确，操作活动在这节课的教学中起了很重要的作用，为此，我在这节课教学的研讨过程中特意观察了操作活动的设计出现的问题以及有效性，下面是老师在讲解怎样画已知直线的平行线时，三次不同的教学过程：

课堂实录一：

老师在黑板上先画了一条直线，然后请学生来画这条直线的平行线。学生上来之后量了两个相同高度的点，一连，一条平行线出来了，

（学生画的对，老师解释了她的画法。）

师：现在老师用两块尺子也来画一画，先将一块三角尺放在我要画的这条直线上，将另外一块三角尺或者直尺靠在上面，第三步，将这块三角尺轻轻的往上推或者往下移动，你看，是不是可以画出一条平行线，并且这样的平行线我能够画几条？

生（齐）：无数条

师：那也就是说与一条直线平行的这种线可以画出来无数条,那么，现在请同学们来看一下，过已知直线外的一点P，用刚才老师教的办法来画的话，能画几条啊？

生（齐）：一条

师：好，动手操作，工作单第二题（师巡视指导）

师：画好了，前后两个同学比较一下，不会画的教一下。

（同学们互相看了一下，就恢复原位了）

师：同学们再来回忆下，过直线外一点画一条平行线，我们所用的方法，第一步，将三角尺放在已知直线上，这个叫放，第二步，把你的另外一块三角尺靠在它的旁边，第二步叫做靠，第三步，将你的三角尺推上去，或者往下移，第三步推，第四步，我们把它画出来，这就是画，用三角尺来画平行线的方法，四步曲，那么，同学们来想一想，刚才我们在画这个平行线的时候，主要是用了这个三角尺的上下移动，这个三角尺在平移，那么在三角尺平移的过程中，你看一看，主要是你的三角尺的哪一个部分起了关键性的作用？这样可以画无数条平行线，是吧，三角尺的哪一个部分起了关键性的作用啊？

（教师反复操作，让学生感悟。）

分析：

不足:第一步让学生自主探索，老师让学生上黑板画，学生根据小学的学习经验，画出了与已知直线高度相同的两点，两点确定的直线与已知直线平行，这一知识点恰好是后续的“平行线间的距离都相等”，教师正好指出其正确性，为后续学习做好了铺垫。但是由于这种方法与本节课不相关，学生的方法与老师的预设大相径庭，不仅没有起到引导的作用，反而浪费了一些时间;第二步教师演示，注意点没讲;第三步学生尝试，由于没有强调细节注意点，导致学生在自己操作时比较混乱，或者是不知道这样做的原因，准备不足，甚至有的学生直尺也没带；第四步小组将操作活动前后比较但是没效果，互相教，只是流于形式；第五步教师用媒体演示，巩固，提出注意点：一放、二靠、三推、四画，这个注意点都是老师讲出来的，并且学生已经画好了，此时提出作用不大；第六步由于学生不太清楚作图原理，学生找不到是哪个角在平移，后面定理的推出就很困难。

 找到这一教学环节出错的主要原因，老师们针对性的给出了修改意见是可以肯定学生的做法，但是要引入到我们这节课的内容上，需要教师做适当的引导。最后集体讨论得出改进方法：第一步学生自主探索，老师让学生口述画图过程，点到即止，这一步充分预设到学生可能给出的答案，但是要控制时间，将学生的思路引导到我们需要的答案这里;第二步教师演示，注意点要学生自己发现并讲解出来;第三步学生尝试，自己画图；第四步教师用媒体演示，起到巩固作用，提出注意点：一放、二靠、三推、四画；第五步找出平移的角等等。

课堂实录二

师：现在我要用两块尺子来画已知直线的一条平行线，那么怎么画？（生用两块三角尺演示，组成了一个长方形。）

师：他把两块尺拼在一起，间接组成了一个长方形，因为长方形的两条边是平行的，那么我们照着它画是不是就能画出一条平行线?很好，请坐。那么这样的话，需要用两块特殊的三角尺，今天我交给大家一个比较常见的办法。已知一条直线，要画一条直线与已知直线平行。那么先让这块尺的一边放在已知直线上，用另外一块尺紧紧的靠着它。第三步，靠着它的这块尺慢慢的向上推或者向下移动，可不可以画？并且我可以画几条？

生：无数条。

师：那么请问同学们刚才我在用这样两块尺画的时候，第一步，把这块尺放在上面的时候，需要注意什么？

生：重合

师：谁和谁重合？

生：三角尺的一条边和已知直线重合

师：第二步，另外一块尺靠在它傍边的时候，你的手不小心滑了一下，画出来的直线是平行线吗？

生：不是

师：有点歪了。那么应该注意什么？

生：紧紧靠紧

师：向上推的时候我如果无视这块尺的存在，能不能画出标准的平行线？那么我应该怎么办？

生：沿着另一块尺的一条边慢慢推

师：很好，第四步，我再慢慢把它画出来。请同学们动动脑筋看一下我们的工作单第二题，经过一点画一条与已知直线平行的直线。（生开始画）

师：（巡视）。用刚才老师教的办法，两块尺子配合着画。前后桌交流一下画图经验。同学们，看黑板，经过点P的直线画出几条与已知直线平行？

师：过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线平行，这是我们的一条平行的公理，通过你的操作得出的。

（之后通过一问一答的形式，引导学生归纳画平行线的一般步骤，并且带领学生感悟到画图过程中保持同位角不变。）

分析：

由于第一步学生自主探索，老师让学生口述画图过程，节约了时间，也拓宽了学生的思维;第二步教师演示，启发学生归纳总结出画图注意点，学生明确了自己画图时应该避免哪些错误，也提高了画图的正确率;第三步学生尝试，自己画图；第四步教师用媒体演示，起到巩固作用，归纳注意点：一放、二靠、三推、四画；第五步得出画图实质是同位角保持不变的平移等等。

我们发现，这次教学效果比上次明显进步了许多，但是由于学生操作在先，老师“一放、二靠、三推、四画”的归纳在后，这个总结对于学生独立操作起到的作用不是很大，个别学生画图仍然出现障碍。大家商量之后觉得还是先在老师示范的时候把这四个步骤让学生自主归纳出来，再来让学生操作更加有效。

课堂实录三:

 （学生自主学习，说出一些画已知直线的平行线的方法，之后老师介绍新的方法）

师：已知直线b，我要画一条直线与直线b平行，那么先用我这块尺，放在我要画的已知直线上，接下来用另外一块尺靠在这条边上，注意要靠紧了，然后第三步轻轻地往上推，或者向下移也可以，然后推到某一个位置，我想要什么位置，我再把它画出来。看好了，第一步将它放在这上面放平，那我放的时候你刚刚说了要对准这条直线，那我万一稍稍歪一点可以吗？（询问学生）那推上去这条线就不能和这条直线平行，所以我在放的时候，这条边要和已知直线贴紧。第二步，对准这条直线，把另外一个尺靠上来，用一个词是“靠”，那靠的时候你可不可以手稍微松一点？这样子靠呢?（询问学生）那我平移上去的时候，就歪了，所以靠的时候要紧靠。第三步我轻轻地把它向上推，用到的是哪一个词？“推”。第四步推到某一个特定的位置，我再把它画下来。第四个字就是“画”。谢谢你，张涛，请回坐。

（教师板书出这四步，一放、二靠、三推、四画。）

之后请学生自己动手操作，完成工作单第二题。

分析：

由于在这次课堂上，老师在操作时既讲解了注意点，又引导学生把关键词及时的总结了出来，同时简要的板书加强了对于操作活动的总结，学生思路有条理，在操作时步骤很清晰，很快就把图画好了，而且明白了作图过程中我们保证了一对同位角不变，而且有了这些铺垫，后面定理的推出也很顺利。学生学的轻松又愉快，既掌握了画图的方法，又明白了其中的原理，后面的定理推出就显得顺理成章。

三、我们的思考：

在初中数学教学中，操作活动促使学生的手、眼、脑、口并用，学生的数学思维建立在实际操作经验的基础之上，不但可以激发学生学习的积极性和主动性，也能启发学生更快地发现有价值的数学问题，还可以加深学生对数学知识要领的理解，帮助学生掌握有关的数学本体知识，促进学生主动探究，全面提升学生的学科素养。通过这三节课的不断反思与改进，我们发现操作活动虽然作为数学教学的一种重要方式，已经越来越被数学教师广泛应用，但是作为主导作用的教师如何根据本节课的教学目标设计出合理又高效的操作环节？这就需要我们老师在以下环节不断思考、不断探索、不断改进。
   1、在操作中观察，促进自我发现
   一些数学现象看似很简单，但是要说说清楚，让学生理解并不是件很容易的事。发现学习理论认为，学生的学习过程是一个自我发现的过程，教师要放手让学生自己去发现问题，并解决问题。教师只是为学生提供必要的问题情境和适当的引导，让学生自己去探索和发现。其中让学生通过操作活动去发现数学问题和解决数学问题，是一种既简单又有效的发现学习方法。
   如：在教“三角形任意两边之和一定大于第三边”这一知识点时，如果用逻辑推理的方式探究这一问题学生不容易理解，但是如果设计一组动手操作活动，理解掌握起来显得简单明了。首先学生分组事先准备3cm、6cm、8cm、10cm的小棒各一根，让学生摆摆看，从中任意抽出三根，哪些可以摆出三角形?哪些不可以?为什么会出现这种情况?从四根木棒中选出其中的三根（即选出一根不用）一共有四种组合情况：①3cm、6cm、8cm；②3cm、6cm、10cm；③3cm、8cm、10cm；④6cm、8cm、10cm。学生发现组合①、③、④可以摆出三角形；组合②则不可以摆出三角形。启发学生：为什么组合②不能组成三角形呢？通过学生的观察会发现：有一根木棒太短了（或者说有一根木棒太长了）。由于有了操作的实践感知，学生自然会总结出一般规律：三角形的任意两边之和必须大于第三边。然后我拿起3cm、6cm的两根木棒，现在要学生帮我再添加一根小木棒来组成三角形，很显然，太短或者太长的都不合适，由此得出“第三边大于两边之差，小于两边之和”的结论。由于整个过程学生都动手参与其中，在不断筛选木棒的过程中学生自主发现了结论，而且在第二个活动中学生参与了推理过程，深刻理解了知识的来龙去脉，所以对于这一知识点学生掌握很好。利用操作将“实验几何”慢慢过渡到“推理几何”，这对培养学生的创新能力能起到积极的作用。
  2 、在操作中猜想，引导自主探索

 初中阶段数学是从实验几何向推理几何过渡的重要阶段，也是学生从感性思维向抽象思维过渡的重要阶段，实际的操作活动能够带动理性思维，启发学生更快地进入理性思维的阶段。数学操作活动，立足于感性的形象思维，为学生的数学理性思维提供了感性经验，对于启发学生发现新知识和新问题有着不可低估的作用。     

例如：在教《三角形中位线》时，我让学生拿出自己准备的三角形，完成任务：“只剪一刀，得到一张三角形纸片和一张梯形纸片”。启发学生思考：“要保证得到一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪痕的位置有什么要求？”由于梯形有且只有一组对边平行，所以要想得到平行的一组对边剪痕必须与第三边平行，接着追问：“这两个图形能否拼成一个平行四边形？如果想拼成平行四边形，剪痕还要有什么要求?”学生继续进行操作演示，尝试中发现要从三角形一边中点开始剪，并且剪痕与第三边平行。教师继续进行追问：“将其中的三角形作怎样的图形变换，能把剪得的两个图形拼成一个平行四边形?”经过不断操作演练，进一步得出三角形中位线性质定理，并且为后续定理的验证做好了铺垫。该操作过程利用两个递进的问题，巧妙地提示学生从“位置关系”和“数量关系”两个层面来考虑问题，在动手操作中不断渗透几何学的本质，为后续学习几何图形做好铺垫。

操作活动与猜想活动结合，是数学教学中引导学生自主探索的重要方法。在操作中的猜想要充分体现学生学习的自主性，规律让学生自己去发现，方法让学生自己去寻找，思路让学生自己去探究，问题让学生自己去解决。数学学习的过程是将生活中的有关数学现象和数学经验进行总结与升华的过程。如果每一个学生都能从他们的现实数学世界出发，将身边的数学现象与教材内容发生相互作用，建构自己的数学知识体系，那么学生更能体会到数学的强大功用。因此在数学课堂教学中，教师应尽量为学生设计一些操作性学习活动，把学生能亲身感受的操作性数学材料引进课堂，激发学生参与学习的兴趣，激活学生的探究欲望，让学生在操作中感悟数学。教师在引领学生操作活动中，应该根据学生、教材内容、教学环境的具体情况，设计富有探索价值的，能与学生生活紧密联系的操作性数学问题，让学生在教师的帮助下自己动手、动脑“做数学”，用猜想开启自主探索，获得体验。
3 、在操作中纠错，达成知识重构

数学学习是一种不断试误的过程，也是一个需要不断修正的过程。每每有教师埋怨：有些知识点练过无数次，但还是屡屡出错！鉴于此，教师在执教过程中，不妨巧设些“陷阱”，“陷阱式”问题是指在学生所熟悉的内容中给出的问题具有较深的隐蔽性，或具有一定的诱导性，用于诱发、暴露学生认知中的一些错误、片面的观点，促使学生在“落入”和“走出”陷阱的过程中吃一堑长一智，在挫折中经受锻炼和获取有益经验，以优化学生思维品质。

如：在执教《圆与正多边形》时，我设置了这样一个“陷阱式”问题：“利用正五边形能否铺设成平整的、没有空隙的地面？”同学们一下子就联想到足球就是由许多的正五边形拼接而成，所以一致认为只要是正多边形都是可以的，不约而同给出了肯定的答复。看到学生陷入“陷阱”之后，我先动员学生运用动手操作寻找答案，再引导学生从理论上全面分析原因：足球的表面是一个曲面，而现在的镶嵌问题不是曲面而是平面，我们应该根据实际情况仔细分析、有了严密的推理再给出答案。最后师生经过齐心协力，总结出平面镶嵌的一般规律即：围绕每个镶嵌顶点的角度之和恰好为360°才能完成铺设。

设计“陷阱式”问题是手段，识破“陷阱”避免陷入“陷阱”才是目的，当学生走出“陷阱”后，应抓住契机引导学生首先要仔细分析问题，如文字、图形或图像中某些隐含条件，从而揭示本质，排除干扰因素。其次我们还要严谨地分析问题，学会正确地把实际问题抽象成数学模型，增强数学思维品质的科学性和严谨性。

   在三次课堂观察中我们发现，课堂活动的设计是一个不断摸索、不断创造的过程，我们只有平时多注重思考，不断改进教学方式，不断优化教学设计，才能设计出更加符合学情的优秀设计，这样才能大大提高教学效率。课堂永远是不完美的，但是我们一直在追求完美的路上。